DEFINITION subst1_confluence_neq()
TYPE =
       ∀t0:T
         .∀t1:T
           .∀u1:T
             .∀i1:nat
               .subst1 i1 u1 t0 t1
                 →∀t2:T.∀u2:T.∀i2:nat.(subst1 i2 u2 t0 t2)→(not (eq nat i1 i2))→(ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t1 t λt:T.subst1 i1 u1 t2 t)
BODY =
        assume t0: T
        assume t1: T
        assume u1: T
        assume i1: nat
        suppose H: subst1 i1 u1 t0 t1
          we proceed by induction on H to prove ∀t2:T.∀u2:T.∀i2:nat.(subst1 i2 u2 t0 t2)→(not (eq nat i1 i2))→(ex2 T λt3:T.subst1 i2 u2 t1 t3 λt3:T.subst1 i1 u1 t2 t3)
             case subst1_refl : ⇒
                the thesis becomes ∀t2:T.∀u2:T.∀i2:nat.(subst1 i2 u2 t0 t2)→(not (eq nat i1 i2))→(ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t0 t λt:T.subst1 i1 u1 t2 t)
                    assume t2: T
                    assume u2: T
                    assume i2: nat
                    suppose H0: subst1 i2 u2 t0 t2
                    suppose : not (eq nat i1 i2)
                      by (subst1_refl . . .)
                      we proved subst1 i1 u1 t2 t2
                      by (ex_intro2 . . . . H0 previous)
                      we proved ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t0 t λt:T.subst1 i1 u1 t2 t
∀t2:T.∀u2:T.∀i2:nat.(subst1 i2 u2 t0 t2)→(not (eq nat i1 i2))→(ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t0 t λt:T.subst1 i1 u1 t2 t)
             case subst1_single : t2:T H0:subst0 i1 u1 t0 t2 ⇒
                the thesis becomes ∀t3:T.∀u2:T.∀i2:nat.∀H1:(subst1 i2 u2 t0 t3).∀H2:(not (eq nat i1 i2)).(ex2 T λt4:T.subst1 i2 u2 t2 t4 λt4:T.subst1 i1 u1 t3 t4)
                    assume t3: T
                    assume u2: T
                    assume i2: nat
                    suppose H1: subst1 i2 u2 t0 t3
                    suppose H2: not (eq nat i1 i2)
                      we proceed by induction on H1 to prove ex2 T λt4:T.subst1 i2 u2 t2 t4 λt4:T.subst1 i1 u1 t3 t4
                         case subst1_refl : ⇒
                            the thesis becomes ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t0 t
                               (h1) 
                                  by (subst1_refl . . .)
subst1 i2 u2 t2 t2
                               end of h1
                               (h2) 
                                  by (subst1_single . . . . H0)
subst1 i1 u1 t0 t2
                               end of h2
                               by (ex_intro2 . . . . h1 h2)
ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t0 t
                         case subst1_single : t4:T H3:subst0 i2 u2 t0 t4 ⇒
                            the thesis becomes ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t4 t
                               by (sym_not_eq . . . H2)
                               we proved not (eq nat i2 i1)
                               by (subst0_confluence_neq . . . . H3 . . . H0 previous)
                               we proved ex2 T λt:T.subst0 i1 u1 t4 t λt:T.subst0 i2 u2 t2 t
                               we proceed by induction on the previous result to prove ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t4 t
                                  case ex_intro2 : x:T H4:subst0 i1 u1 t4 x H5:subst0 i2 u2 t2 x ⇒
                                     the thesis becomes ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t4 t
                                        (h1) 
                                           by (subst1_single . . . . H5)
subst1 i2 u2 t2 x
                                        end of h1
                                        (h2) 
                                           by (subst1_single . . . . H4)
subst1 i1 u1 t4 x
                                        end of h2
                                        by (ex_intro2 . . . . h1 h2)
ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t4 t
ex2 T λt:T.subst1 i2 u2 t2 t λt:T.subst1 i1 u1 t4 t
                      we proved ex2 T λt4:T.subst1 i2 u2 t2 t4 λt4:T.subst1 i1 u1 t3 t4
∀t3:T.∀u2:T.∀i2:nat.∀H1:(subst1 i2 u2 t0 t3).∀H2:(not (eq nat i1 i2)).(ex2 T λt4:T.subst1 i2 u2 t2 t4 λt4:T.subst1 i1 u1 t3 t4)
          we proved ∀t2:T.∀u2:T.∀i2:nat.(subst1 i2 u2 t0 t2)→(not (eq nat i1 i2))→(ex2 T λt3:T.subst1 i2 u2 t1 t3 λt3:T.subst1 i1 u1 t2 t3)
       we proved 
          ∀t0:T
            .∀t1:T
              .∀u1:T
                .∀i1:nat.(subst1 i1 u1 t0 t1)→∀t2:T.∀u2:T.∀i2:nat.(subst1 i2 u2 t0 t2)→(not (eq nat i1 i2))→(ex2 T λt3:T.subst1 i2 u2 t1 t3 λt3:T.subst1 i1 u1 t2 t3)