DEFINITION pr1_confluence()
TYPE =
       ∀t0:T.∀t1:T.(pr1 t0 t1)→∀t2:T.(pr1 t0 t2)→(ex2 T λt:T.pr1 t1 t λt:T.pr1 t2 t)
BODY =
        assume t0: T
        assume t1: T
        suppose H: pr1 t0 t1
          we proceed by induction on H to prove ∀t3:T.(pr1 t0 t3)→(ex2 T λt4:T.pr1 t1 t4 λt4:T.pr1 t3 t4)
             case pr1_refl : t:T ⇒
                the thesis becomes ∀t2:T.∀H0:(pr1 t t2).(ex2 T λt3:T.pr1 t t3 λt3:T.pr1 t2 t3)
                    assume t2: T
                    suppose H0: pr1 t t2
                      by (pr1_refl .)
                      we proved pr1 t2 t2
                      by (ex_intro2 . . . . H0 previous)
                      we proved ex2 T λt3:T.pr1 t t3 λt3:T.pr1 t2 t3
∀t2:T.∀H0:(pr1 t t2).(ex2 T λt3:T.pr1 t t3 λt3:T.pr1 t2 t3)
             case pr1_sing : t2:T t3:T H0:pr0 t3 t2 t4:T :pr1 t2 t4 ⇒
                the thesis becomes ∀t5:T.∀H3:(pr1 t3 t5).(ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t)
                (H2) by induction hypothesis we know ∀t5:T.(pr1 t2 t5)→(ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t)
                    assume t5: T
                    suppose H3: pr1 t3 t5
                      (H_x) 
                         by (pr1_strip . . H3 . H0)
ex2 T λt:T.pr1 t5 t λt:T.pr1 t2 t
                      end of H_x
                      (H4) consider H_x
                      we proceed by induction on H4 to prove ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
                         case ex_intro2 : x:T H5:pr1 t5 x H6:pr1 t2 x ⇒
                            the thesis becomes ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
                               (H_x0) 
                                  by (H2 . H6)
ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 x t
                               end of H_x0
                               (H7) consider H_x0
                               we proceed by induction on H7 to prove ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
                                  case ex_intro2 : x0:T H8:pr1 t4 x0 H9:pr1 x x0 ⇒
                                     the thesis becomes ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
                                        by (pr1_t . . H5 . H9)
                                        we proved pr1 t5 x0
                                        by (ex_intro2 . . . . H8 previous)
ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
                      we proved ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t
∀t5:T.∀H3:(pr1 t3 t5).(ex2 T λt:T.pr1 t4 t λt:T.pr1 t5 t)
          we proved ∀t3:T.(pr1 t0 t3)→(ex2 T λt4:T.pr1 t1 t4 λt4:T.pr1 t3 t4)
       we proved ∀t0:T.∀t1:T.(pr1 t0 t1)→∀t3:T.(pr1 t0 t3)→(ex2 T λt4:T.pr1 t1 t4 λt4:T.pr1 t3 t4)