DEFINITION pr3_head_2()
TYPE =
       ∀c:C.∀u:T.∀t1:T.∀t2:T.∀k:K.(pr3 (CHead c k u) t1 t2)→(pr3 c (THead k u t1) (THead k u t2))
BODY =
        assume c: C
        assume u: T
        assume t1: T
        assume t2: T
        assume k: K
        suppose H: pr3 (CHead c k u) t1 t2
          we proceed by induction on H to prove pr3 c (THead k u t1) (THead k u t2)
             case pr3_refl : t:T ⇒
                the thesis becomes pr3 c (THead k u t) (THead k u t)
                   by (pr3_refl . .)
pr3 c (THead k u t) (THead k u t)
             case pr3_sing : t0:T t3:T H0:pr2 (CHead c k u) t3 t0 t4:T :pr3 (CHead c k u) t0 t4 ⇒
                the thesis becomes pr3 c (THead k u t3) (THead k u t4)
                (H2) by induction hypothesis we know pr3 c (THead k u t0) (THead k u t4)
                   by (pr2_head_2 . . . . . H0)
                   we proved pr2 c (THead k u t3) (THead k u t0)
                   by (pr3_sing . . . previous . H2)
pr3 c (THead k u t3) (THead k u t4)
          we proved pr3 c (THead k u t1) (THead k u t2)
       we proved ∀c:C.∀u:T.∀t1:T.∀t2:T.∀k:K.(pr3 (CHead c k u) t1 t2)→(pr3 c (THead k u t1) (THead k u t2))