DEFINITION pc1_head_2()
TYPE =
       ∀t1:T.∀t2:T.(pc1 t1 t2)→∀u:T.∀k:K.(pc1 (THead k u t1) (THead k u t2))
BODY =
        assume t1: T
        assume t2: T
        suppose H: pc1 t1 t2
        assume u: T
        assume k: K
          (H0) consider H
          consider H0
          we proved pc1 t1 t2
          that is equivalent to ex2 T λt:T.pr1 t1 t λt:T.pr1 t2 t
          we proceed by induction on the previous result to prove pc1 (THead k u t1) (THead k u t2)
             case ex_intro2 : x:T H1:pr1 t1 x H2:pr1 t2 x ⇒
                the thesis becomes pc1 (THead k u t1) (THead k u t2)
                   (h1) 
                      by (pr1_head_2 . . H1 . .)
pr1 (THead k u t1) (THead k u x)
                   end of h1
                   (h2) 
                      by (pr1_head_2 . . H2 . .)
pr1 (THead k u t2) (THead k u x)
                   end of h2
                   by (ex_intro2 . . . . h1 h2)
                   we proved ex2 T λt:T.pr1 (THead k u t1) t λt:T.pr1 (THead k u t2) t
pc1 (THead k u t1) (THead k u t2)
          we proved pc1 (THead k u t1) (THead k u t2)
       we proved ∀t1:T.∀t2:T.(pc1 t1 t2)→∀u:T.∀k:K.(pc1 (THead k u t1) (THead k u t2))